domingo, 31 de octubre de 2010

Las rectas notables de un triángulo

Las rectas notables de un triángulo son:
Mediatrices:
La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.
Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices  que denotaremos como sigue:
La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb
La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc
Construcción geométrica:
Propiedad 5:
"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado"
Ejercicio 4:
Con ayuda de una regla y un compás:
  1. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
  2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres mediatrices de tu triángulo.
  3. Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con ayuda de la regla o el compás, toma la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dicho punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias?
  4. Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz.
  5. Repite los dos apartados anteriores con las otras dos mediatrices.
Ejercicio 5:
Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 5.
Alturas:
La ALTURA de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres alturas  que denotaremos como sigue:
La altura  respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha
La altura  respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb 
La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc
Construcción geométrica:
Propiedad 6:
Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo):
Si el triángulo es RECTÁNGULO:
"La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo"  
Si el triángulo es ACUTÁNGULO:
"Las tres alturas son interiores al triángulo"  
Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:
"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo"
Propiedad 7:
"En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos iguales"
Ejercicio 6:
  1. Con ayuda de una regla y un compás:
    1. Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
    2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres alturas de tu triángulo.
    3. Observa si son interiores o exteriores al triángulo, y mira si concuerdan tus resultados con la propiedad 6.
  2. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
  3. Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.
Ejercicio 7:
Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 7.
Medianas:
La MEDIANA de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice)  que denotaremos como sigue:
Mediana correspondiente al vértice A, se denota por  mA
Mediana correspondiente al vértice B, se denota por  mB 
Mediana correspondiente al vértice C, se denota por  m
Construcción geométrica:
Propiedad 8:
"Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del tipo de triángulo que sea"
Propiedad 9:
"Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área"
Ejercicio 8:
  1. Con ayuda de una regla y un compás:
    1. Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
    2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres medianas de tu triángulo.
    3. Observa si coincide tu resultado con la propiedad 8.
    4. Calcula el área de los dos triángulos en que la mediana mA divide al triángulo ABC y comprueba que se cumple la propiedad 9.
  2. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
  3. Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.
Ejercicio 9:
Demuestra la propiedad 9.
Bisectrices:
La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.
Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo)  que denotaremos como sigue:
Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA
Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB
Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC
Construcción geométrica:
Propiedad 10:
"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo"
es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman son de la misma longitud.
Ejercicio 10:
Con ayuda de una regla y un compás:
  1. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
  2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres bisectrices de tu triángulo.
  3. Comprueba sobre tu dibujo que se cumple la propiedad 10.




Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo son:
las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
las alturas, , que se cortan en el ortocentro, .

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.



En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.


En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales: .

Consideramos una mediana . Si es el baricentro se cumple que .
Se cumple también que si se dibuja , la mediana de la mediana , ésta corta al lado siendo: .

Las alturas

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a .
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado , obteniendo y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que y .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.

 Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Suma de vectores

En un triángulo , cuyo circuncentro es y su ortocentro es , se verifica que el vector es igual a la suma de los vectores .

Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach

El triángulo que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo se llama triángulo órtico.
Las bisectrices del triángulo órtico de están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.
La circunferencia circunscrita al órtico de se llama circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de y y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de y .

Sea es el triángulo órtico de un triángulo desconocido . Al hallar vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada órtico y cada circunferencia de Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.
Dibujamos las bisectrices de , que coinciden con las alturas de . Trazamos por y perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado, . Esta es la primera solución. Señalamos el ortocentro y la circunferencia de Feuerbach.

Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de , como , cuyo ortocentro coincide con el vértice . Las otras soluciones serían , con ortocentro en y , con ortocentro en .

Recta de Simson

Sea un triángulo y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de desde un punto arbitrario de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.
Si unimos con el ortocentro de el punto medio del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de .

 Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, .
La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: .
El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de , segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo .
Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.
Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices .
El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a .

Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ”.
Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.

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