Fórmula de Herón

Triángulo de lados a, b, c.

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)},$

donde s es el semiperímetro:

$s = \frac{a+b+c}{2}$

La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:

$A = {\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}\,$

Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo de lados a, b, c, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son $\widehat A, \widehat B, \widehat C.$ Entonces, por el teorema del coseno:

$\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ .

De la identidad pitagórica

$\sin^2 \widehat C +\cos^2 \widehat C = 1$

se obtiene:

$\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud $b \cdot \sin \widehat C$

$\begin{align} A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura}) \\ & = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)} \\ \end{align}$

Como $2s = a+b+c \,$ , se llega finalmente a:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

Generalizaciones

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de un cuadrilátero.
Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:

$A = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$

Ninguno de los resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes (a+b-c)=(10+20-30)=0 nunca se puede dar esa situación.
Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.

ENFERMERIA GENERAL

jueves, 11 de noviembre de 2010