Las rectas notables de un triángulo son:
La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.
Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue:
La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb
La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc
Propiedad 5:
"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado"
Ejercicio 4:
Con ayuda de una regla y un compás:
- Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
- Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres mediatrices de tu triángulo.
- Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con ayuda de la regla o el compás, toma la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dicho punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias?
- Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz.
- Repite los dos apartados anteriores con las otras dos mediatrices.
Ejercicio 5:
Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 5.
La ALTURA de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue:
La altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha
La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb
La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc
Propiedad 6:
Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo):
Si el triángulo es RECTÁNGULO:
"La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo"
Si el triángulo es ACUTÁNGULO:
"Las tres alturas son interiores al triángulo"
Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:
"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo"
Propiedad 7:
"En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos iguales"
Ejercicio 6:
- Con ayuda de una regla y un compás:
- Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
- Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres alturas de tu triángulo.
- Observa si son interiores o exteriores al triángulo, y mira si concuerdan tus resultados con la propiedad 6.
- Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
- Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.
Ejercicio 7:
Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 7.
La MEDIANA de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue:
Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA
Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB
Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC
Propiedad 8:
"Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del tipo de triángulo que sea"
Propiedad 9:
"Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área"
Ejercicio 8:
- Con ayuda de una regla y un compás:
- Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
- Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres medianas de tu triángulo.
- Observa si coincide tu resultado con la propiedad 8.
- Calcula el área de los dos triángulos en que la mediana mA divide al triángulo ABC y comprueba que se cumple la propiedad 9.
- Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
- Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.
Ejercicio 9:
Demuestra la propiedad 9.
La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.
Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue:
Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA
Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB
Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC
Propiedad 10:
"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo"
es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman son de la misma longitud.
Ejercicio 10:
Con ayuda de una regla y un compás:
- Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
- Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres bisectrices de tu triángulo.
- Comprueba sobre tu dibujo que se cumple la propiedad 10.
Puntos y rectas notables de los triángulos
Las rectas y puntos notables de un
triángulo son:
las mediatrices,
, que se cortan en un punto llamado circuncentro
,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las
medianas,
, que se cortan en el baricentro,
, centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices,
, que se cortan en el incentro
, centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
las alturas,
, que se cortan en el ortocentro,
.
Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo
acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su
circuncentro será interior al triángulo.
En el caso del triángulo
rectángulo vemos que el
circuncentro coincide con el punto medio de la
hipotenusa.
En el caso de un triángulo
obtusángulo, el
circuncentro es
exterior al triángulo.
Las medianas
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El
baricentro tiene una propiedad física importante: es el
centro de gravedad del triángulo.
Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo
obtenemos el triángulo
que tiene el mismo baricentro que
y sus medianas miden la mitad que las de
.
Además los lados de
miden la mitad que los lados de
y la superficie de
es la cuarta parte de la superficie de
, pues podemos comprobar que al trazar
se han definido otros tres triángulos iguales:
.
Consideramos una mediana
. Si
es el baricentro se cumple que
.
Se cumple también que si se dibuja
, la mediana de la mediana
, ésta corta al lado
siendo:
.
Las alturas
Las alturas de un triángulo
acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su
ortocentro es interior al triángulo.
En el caso de un triángulo
obtusángulo, el
ortocentro es
exterior al triángulo.
En el caso del triángulo
rectángulo vemos que el
ortocentro coincide con el
vértice del ángulo recto.
Las bisectrices
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo
se cortan en un punto llamado
incentro que siempre es interior al triángulo. Como el
incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a
.
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde
a uno de ellos, por ejemplo al lado
, obteniendo
y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que
y
.
El
teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.
Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos
Suma de vectores
En un triángulo
, cuyo circuncentro es
y su ortocentro es
, se verifica que el vector
es igual a la suma de los vectores
.
Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach
El triángulo
que tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo
se llama triángulo
órtico.
Las bisectrices del triángulo
órtico de
están en las mismas rectas que contienen a las alturas de dicho triángulo.
La circunferencia
circunscrita al órtico de
se llama circunferencia de
Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos ya que pasa también por los puntos medios de los lados de
y
y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices de
y
.
Sea
es el triángulo
órtico de un triángulo desconocido
. Al hallar
vamos a ver que existen cuatro soluciones, lo que indica que cada
órtico y cada circunferencia de
Feuerbach pueden pertenecer a cuatro triángulos distintos.
Dibujamos las bisectrices de
, que coinciden con las alturas de
. Trazamos por
y
perpendiculares a tales bisectrices, que son los lados del triángulo buscado,
. Esta es la primera solución. Señalamos el
ortocentro y la circunferencia de
Feuerbach.
Las otras soluciones son los tres triángulos obtusángulos que obtenemos al considerar como lados las alturas de
, como
, cuyo ortocentro coincide con el vértice
. Las otras soluciones serían
, con ortocentro en
y
, con ortocentro en
.
Recta de Simson
Sea un triángulo
y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de
desde un punto arbitrario
de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama
recta de Simson.
Si unimos
con el
ortocentro de
el punto medio
del segmento obtenido está sobre la
recta de Simson y sobre la circunferencia de
Feuerbach de
.
Recta de Euler
La recta definida por el
circuncentro y el
ortocentro de un triángulo
se llama
recta de Euler. La recta de
Euler contiene también al
baricentro y al centro de la circunferencia de
Feuerbach, .
La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro:
.
El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de
, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.
Propiedad de las mediatrices y las bisectrices
Sea un triángulo
. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.
Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo
Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo
.
Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados
exincentros que son los centros de las tres circunferencias
exinscritas al triángulo.
Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices
.
El triángulo definido por los
exincentros tiene como triángulo
órtico a
.
Teorema de Feuerbach
El teorema de
Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo
es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de
”.
Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.
Ver a tamaño completo